Определим мощность каждого бесконечного множества в определении сложного дефекта. Это позволит определить счётно оно или континуально. Каждое счётное множество возможно упорядочить, найти правило последовательного перебора всех его элементов. Для континуального множества такого правила не существует.

Множество представлений

Известно, что сверхструктура порождает сложный дефект вследствие того, что имеет несколько геометрически различных, но~энергетически эквивалентных способа представления. Представления описываются при помощи подстановок. Повторим, что в~неявном виде подстановка определяет решётку, на~которой строится элементарная ячейка сверхструктуры а~так~же декартову систему координат с~правосторонним ортонормированным базисом. Предметом дальнейших рассуждений выберем простую сверхструктуру B2, характерную для металлов с кубической симметрией и органично вписывающуюся в дальнейшее изложение.

Для сверхструктуры B2 число представлений равно 2:

$$AB, BA$$

В обозначениях теории множеств такое положение вещей имеет вид:

$$B2=\{AB,BA\}$$

Рассмотрим теперь конечное множество булевых значений

$$\{0,1\}$$

Мощность конечного множества равна числу его элементов, следовательно

$$|B2|=2$$

Отображение между этими множествами есть биекция

$$f\colon B2 \to \{0,1\}$$

Множество плоскостей

Произвольный дефект формируется набором из бесконечного множества плоскостей трёхмерного евклидова пространства. Общее уравнение плоскости в~декартовой системе координат, привязанной к выбранной сверхструктуре:

$$\alpha :F(x,y,z) \equiv A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0$$

Воспользуемся методом индукции, приведя на первом этапе рассуждения для одномерного пространства, в котором общее уравнение плоскости:

$$\alpha :F(x) \equiv A(x-x_{0})=0$$

и распространяя далее результаты рассуждений на пространства более высших порядков.

Данная плоскость разбивает пространство кристаллической решётки, заполненной атомами более одного сорта, на~два полупространства. Первое состоит из~всех точек

$$M=(x) \forall F(x)<0$$

Второе полупространство состоит из~всех точек

$$M=(x),\forall F(x) \geqslant0$$

Обозначим за r1 отрицательное полупространство, за r2 - неотрицательное. Введение плоскости делает пространство бинарным. В обозначениях теории множеств пространство после введения плоскости становится двухэлементным, то есть

$$R=\{r_1,r_2\}$$

Рассмотрим теперь конечное множество булевых значений

$$\{0,1\}$$

Отображение между этими множествами есть биекция

$$f\colon R \to \{0,1\}$$

Сколько всего плоскостей необходимо для формирования всех комплексов планарных сверхструктурных дефектов, другими словами, какова мощность множества плоскостей, формирующих их? Попытаемся ответить на этот вопрос.

Произвольному дефекту соответствует подмножество множества плоскостей

$$P=\{p_1,p_2,\dots,p_n,\dots\}.$$

В одномерном пространстве для описания плоскости в общем случае используется два действительных числа - одно для нормали и одно для точки через которую проходит плоскость. Такой вариант равно мощен по числу элементов континууму, чему соответствует запись вида

$$|P|=c$$

Но так ли это в случае со сверхструктурными дефектами? Выбирая сверхструктуру, мы тем самым договариваемся, что не все точки евклидова пространства одинаковы ~--- оно становится дискретным. Атом не может находиться в любой точке пространства, а только в точках согласно параметру решётки. Тем самым мы рассматриваем подмножество точек пространства, в которых находятся атомы из множества всех точек пространства. Это первое условие накладываемое на пространство, первоначально континуальное. Вторым дополнительным условием выбора запретим произвольному атому принадлежать двум полупространствам любой плоскости одновременно. Формулировка этого условия выбора вытекает из постановки самой задачи описания планарных комплексов. В противном случае сорта половин одного атома могут не совпадать.

Отметим тот факт, что в кристалле имеются плоскости. Отметим и то, что расчёт энергии фигуры, ограниченной, например, поверхностью второго порядка всегда выше, чем близкой ей фигуры построенной из плоскостей. Такая своего рода дискриминация в выборе расположения границы дефекта отражает некую природу рассматриваемого объекта. Ясно, что такое положение вещей даёт нам бесконечное множество координат плоскостей, равно мощное натуральному ряду чисел, то есть в нашем случае

$$|x_0|=|\mathbb {N}|$$

Другими словами, из семейства координат плоскостей, лежащих в любом единичном интервале необходимо и достаточно рассматривать только одну координату этого интервала ~--- предпочтительно медианную, как наиболее вероятную. Плоскость дефекта, являясь по своей природе континуальной, отличается от любой плоскости кристалла, в которой имеются особые дискретные точки, отвечающие за положение атома.

Эти же доводы правомочны для выбора нормали наших плоскостей. Выразим это математически.

Пространство ~--- множество всех действительных точек:

$$ S= \{x| x \in \mathbb {R} \}.$$

Уравнение безусловной плоскости:

$$ \alpha(x_{0})= \{ x:A(x-x_{0})=0 | x \in S \wedge A \in \mathbb {R} \}.$$

Уравнение условной плоскости:

$$ \alpha(x_{0})= \{ x:A(x-x_{0})=0 | x \in S \wedge A \in \mathbb {Z} \wedge x_{0} \in \mathbb {Z} + 1/2 \}.$$

По индукции, рассматривая двухмерное и трёхмерное пространство, произвольную нормаль возможно описать двойкой и тройкой натуральных чисел. Произвольную координату, через которую проходит плоскость возможно описать двойкой и тройкой рациональных чисел.

В заключении наших логических построений приходим к выводу, что множество плоскостей, необходимых для описания комплексов планарных сверхструктурных дефектов, описывается тройками натуральных и тройками рациональных чисел, является подмножеством множества всех плоскостей,

$$P_{discr} \in P=\{p_1,p_2,\dots,p_n,\dots\},$$

которые описываются шестёрками действительных чисел. Используя теоремы теории множеств, легко показать, что мощность множества троек натуральных и троек рациональных чисел по мощности равна множеству натуральных чисел, то есть множество счётно

$$|P_{discr}|=|\mathbb {N}|.$$

Повторим, что каждая плоскость связана с полупространствами биекцией

$$f\colon R \to \{0,1\}$$

Множество зон

Определимся с числом зон, формируемых плоскостями любого комплекса планарных сверхструктурных дефектов. Пространственно интуитивно понятно определение зоны, как геометрического места точек, которые определяет запись из произвольного набора нолей и единиц, соответствующих пересечению точек положительных и отрицательных полупространств плоскостей, положение которых в этом наборе соответствует номеру плоскости из их множества ~--- ведь оно счётно. Выразим это математически.

Согласно показанной ранее биекции

$$f\colon R \to \{0,1\}$$

множество

$${\{0,1\}}^{\omega}$$

и множество полупространств связаны биекцией:

$$\{a_1,a_2,\dots,a_n,\dots\}, a_i \in \{0,1\} \forall i \geqslant1,$$ $$\{c_1,c_2,\dots,c_n,\dots\}, c_i \in \{r_1,r_2\} \forall i \geqslant1,$$

где cn полупространство, соответствующее плоскости $n.$

Тогда одна произвольная зона ~--- это

$$\bigcap_{i} c_i.$$

Мощности множеств, связанных биекцией равны. Можно показать, что мощность множества произвольных наборов нолей и единиц равна мощности континуума. Число всех зон любого комплекса сверхструктурных дефектов равно соответственно числу всех возможных наборов, то есть:

$$|X| = 2^{\mathbb {N}}.$$

Некоторые размещения при этом могут определять вырожденные, мнимые зоны. Для примера определим зоны для двух плоскостей, формирующих четыре зоны:

$$x_1=\{0,0\}$$ $$x_2=\{1,0\}$$ $$x_3=\{0,1\}$$ $$x_4=\{1,1\}.$$

Если плоскости параллельны, то~одно из~размещений определяет вырожденную зону. Число невырожденных зон равно $3$. Для определения дефекта будем использовать невырожденные зоны. Это дополнительное условие выбора делит множество зон на подмножество невырожденных и подмножество вырожденных зон. И если мощность множества зон равна континууму, то, согласно теоремам теории множеств, мощность подмножеств множества может быть и не равна ему.

Определим мощность подмножества невырожденных зон множества зон.

В случае одномерного пространства плоскости дефекта соответствует точка числовой прямой. Вообще размерность объекта, выступающего в качестве плоскости в дефектах для пространств различных размерности $n$, равна $n-1$. Положительному полупространству соответствует правый луч, отрицательному - левый. Зона получается как результат пересечения всех таких лучей. Соответственно, задача нахождения числа зон сводится к задаче нахождения числа отрезков прямой, на которой расположено $P$ точек. Этому соответствует формула вида

$$x_N=P+1.$$

Мощность подмножества невырожденных зон

$$|x_N|=|\mathbb {N}|.$$

Мощность подмножества невырожденных зон равна мощности множества натуральных чисел. Мощность подмножества вырожденных зон

$$x_V = X \setminus x_N$$ $$|x_V|=|\mathbb {R}|.$$

То есть ситуация резко меняется, считаем ли мы вырожденные зоны в определении дефекта или не считаем.

Можно показать, что для случаев размерности пространства два и три получается аналогичный результат. Условно выражения для числа вырожденных зон для различных случаев размерности рассматриваемого пространства:

$$2^{\mathbb {N}} - {\mathbb {N}^1};$$ $$2^{\mathbb {N}} - {\mathbb {N}^2};$$ $$2^{\mathbb {N}} - {\mathbb {N}^3}.$$

Проблема соответствия

Важным моментом вышеизложенного являются соответствия плоскостей, формирующих зоны произвольного дефекта. Вынесенную в отдельный подраздел проблему наиболее просто характеризует следующая иллюстрация. Если рассматривать все плоскости одного направления в совокупности с им перпендикулярными, то формируемые таким образом зоны содержат в себе атомы только для первого набора. Далее только каждая вторая из них не пуста. В третьем случае ~--- только каждая пятая. По индукции следует, что количество пустых зон растёт как квадрат направления. Необходимо дополнительным условием отбора плоскостей, формирующих комплекс планарных сверхструктурных дефектов, требовать отсутствие зон без атомов. Краевое условие ~--- наличие в любой зоне КПСД хотя бы одного атома.

Множество дефектов

Напомним определение конечного дефекта:

Комплексом планарных сверхструктурных дефектов называется представитель множества k-элементных размещений с повторениями из n-элементного множества представлений.

Повторим также, что отображение между множеством представлений и

$$\{0,1\}$$

есть биекция

$$f\colon B2 \to \{0,1\}.$$

Тогда согласно показанной биекции и определению любой дефект через отображение соответствует какому-либо набору из

$${\{0,1\}}^{\omega}:$$ $$\{a_1,a_2,\dots,a_n,\dots\}, a_i \in \{0,1\} \forall i \geqslant1,$$ $$\{c_1,c_2,\dots,c_n,\dots\}, c_i \in \{AB,BA\} \forall i \geqslant1.$$

Здесь никакие наши ухищрения не позволят понизить мощность множества всех дефектов. Из сказанного выше следует, что мощность множества всех комплексов планарных сверхструктурных дефектов, определённых на любой конечной сверхструктуре при специальном выборе плоскостей и учёте только невырожденных зон равна мощности континуума.

Электронный адрес проекта: phys.mocate@yandex.ru